在直角坐标系中,若m(x^2+y^2+2y+1)=(x-2y+3)^2表示的曲线是双曲线,则m的取值范围是?

这个题的思路：首先有一个交叉项-2xy（在右边式子展开后会出现），所以不可能把它化简成双曲线的标准形式，（除非你学过奥数可以用坐标轴的旋转消去交叉项）必须另辟蹊径，于是想到用双曲线的第二定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数。

给等式变形：先把m除到右边，再开根号，把y^2+2y+1整理成（y+1）^2得到：

根号（x^2+（y+1）^2）=|x-2y+3|/根号m

观察等式左边可以发现它是(X,Y)到（0,-1）点的距离

所以要想办法把右边凑出一个到直线的距离

给等式右边分子分母同乘以根号5，可以得到

（x^2+（y+1）^2）=根号（5/m）|x-2y+3|/根号5

|x-2y+3|/根号5是点(X,Y)到直线x-2y+3=0的距离（如果公式忘了去翻书吧）

所以根据第二定义可以得到

根号（5/m）> 1

即：m<5

又因为使根号（5/m）有定义，必须有

5/m>0，

即m>0

所以m属于（0，5）解毕。